알고리즘 3주차( 분할 정복)

분할 정복 설계

분할정복은 크게 3가지로 설계할 수 있다.

1.분할(Divide) 단계

-문제를 같은 유형의 여러 개의 더 작은 부분 문제들로 나눈다.

-부분 문제는 풀기 쉬울 때까지 계속 나눈다.

2.정복(Conquer) 단계

-부분 문제들을 보통 재귀적으로 해결하여 해를 구한다.

3.합병(Merge) 단계

-문제에 대한 해를 구하기 위해 부분 문제들의 해를 합친다.

 

 

 

 

최댓값과 최솟값 찾기

문제: 크기가 n인 배열내의 요소들 중 최댓값과 최솟값을 찾는다.

쉬운 전략

1.최댓값을 찾는다. -- 비교 횟수: n – 1

2.남은 배열 요소들의 최솟값을 찾는다. -- 비교 횟수: n – 2

  총 비교 횟수 = (n – 1) + (n – 2) = 2n - 3

 

 

1.배열을 반으로 나눈다.

2.양쪽 절반들의 최댓값과 최솟값을 찾는다.

3.2에서 찾은 두 개의 최댓값들과 두 개의    최솟값들을 비교하여 전체 배열의 최댓값과 최솟값을 구한다.

 

 

 

자연어 알고리즘 : 

1. 크기가 (high + 1)인 배열 ㅠ

 

 

비재귀 합병 정렬

합병 정렬의 단점 

- 합병 정렬의 공간 복잡도: O(n) 

- 입력을 위한 메모리 공간 (입력 배열)외에   추가로 입력과 같은 크기의 공간 (임시 배열)이 별도로 필요하다.

- 2개의 정렬된 부분을 하나로 합병하기 위해 합병된 결과를 저장할 공간이 필요하기 때문이다.

 

합병정렬의 응용

- 합병정렬은 외부정렬의 기본이 되는 정렬 알고리즘이다.

- 그렇기 때문에 연결 목록에 있는 데이터를 정렬할 때 빠른 정렬이나 힙 정렬 보다 효율적이다.

- 멀티코어 CPU와 다수의 프로세서로 구성된 그래픽 처리 장치의 등장으로 정렬 알고리즘을 병렬화하기 위해 합병 정렬 알고리즘이  활용된다.

 

 

빠른 정렬

- 가장 빠른 정렬 알고리즘은 아니지만 평균적으로 효율적이다.

- 평균 시간 복잡도 : θ(nlogn)

- 최악 시간 복잡도 : θ(n^2)

 

최초 호출: quickSort(A, 0, n - 1)

 

 

선택 알고리즘

 

분할 정복 전략

1.숫자들을 두 그룹으로 나눈다. 즉, 빠른 정렬과 같이 기준 숫자를 선택하여 Small 그룹(≤ 기준 숫자)과 Large 그룹(> 기준 숫자)으로 분할한다.

2.두 그룹의 크기를 살펴 보고 k번째 작은 숫자가 어느 그룹에 있는지를 결정한다.

3.k번째로 작은 숫자를 해당 그룹에서 재귀적으로 찾는다.

경우 1: Small 그룹의 크기 ≥ k

  k번째로 작은 숫자를 Small 그룹에서 찾는다.

경우 2: Small 그룹의 크기 < k

  k번째로 작은 숫자를 Large 그룹에서 찾는다.

        이 경우 Large 그룹에서 (k – s - 1)번째로 작은

        숫자를 찾아야 한다. 여기서 s는 Small 그룹에       

        있는 숫자들의 수이다.

 

분할 정복이 부적절한 경우

- 문제가 분할될 때마다 분할된 부분 문제들의  입력 크기의 합이 분할되기 전의 입력 크기보다 매우 커지는 경우

경우 1: 크기 n인 문제가 거의 n에 가까운 크기의 2개 이상의 부분 문제들로 분할

경우 2: 크기 n인 문제가 n/c  크기의 거의 n개의 부분 문제  들로 분할. c는 상수